基本数学工具
本附录包括了计量经济学中用到的一些基本数学，我们扼要论述了求和算子的各种性质，研究了线性和某些非线性方程的性质，并复习了比例和百分数。我们还介绍了一些在应用计量经济学中常见的特殊函数，包括二次函数和自然对数，前 4 节只要求基本的代数技巧，第 5 节则对微分学进行了简要回顾；虽然要理解本书的大部分内容，微积分并非必需，但在一些章末附录和第 3 篇某些高深专题中，我们还是用到了微积分。
求和算子与描述统计量
求和算子 是用以表达多个数求和运算的一个缩略符号，它在统计学和计量经济学分析中扮演着重要作用。如果 \(\{x_i: i=1, 2, \ldots, n\}\) 表示 \(n\) 个数的一个序列，那么我们就把这 \(n\) 个数的和写为：
\[\begin{equation} \sum_{i=1}^n x_i \equiv x_1 + x_2 +\cdots + x_n \end{equation}\]
例如，许多计量微信群、计量微信公众号等等，读者基本是老师和一些对此感兴趣的高年级本科生与研究生。↩︎
F分布是以伟大的统计学家Sir Ronald A. Fisher的名字命名的↩︎
估计量（estimator）是数据样本的一个函数；估计（estimate）则是估计量的数值。↩︎
“有效性”这这个术语源于，如果\(\hat{\mu_y}\)比\(\tilde{\mu_Y}\)方差更小，那么，\(\hat{\mu_y}\)能更有效的利用数据信息↩︎
需要注意的是，从数学上理解，截距\(\beta_0\)是X=0时Y的值，也就是总体回归线与Y轴的交点。但在经济学忠，这个截距有时候有经济学含义，有时候则没有经济学含义，例如班级规模为0 时，班级的平均成绩为\(\beta_0\)就不符合实际了，因此，这个时候要将其单纯理解成数学意义上的系数。↩︎
HL点估计量较为复杂，请参见，Daniel Lempert（2015）：Simultaneous Sensitivity Analysis in Stata: arsimsens and pairsimsens. Observational Studies, Volume 1, Issue 2, 2015, pp. 74-90↩︎
关于聚类问题，即什么时候应该聚类，什么时候不必聚类，可以回顾第六章“面板数据模型”。↩︎
注意，本节有一些内容翻译自Scott Cunningham的“Causal Inference：The Remix”↩︎
需要注意的是，本节的低维度是指的F的阶数小于样本的个体数与时期数的最小值，参见Liu et al.(2021)↩︎
矩阵完成法是否能解决这个特定的问题，还是更一般性的问题，还需要更加仔细地思考。↩︎